Il gioco della Matematica
Federico Peiretti
Liceo Classico CAVOUR, Torino
Lo studente che ha conosciuto la matematica soltanto attraverso i manuali scolastici (ridotti sovente a semplici eserciziari) e attraverso presentazioni dogmatiche di formule e teoremi, è più che giustificato se alla fine della sua esperienza scolastica, dichiara tutta la sua avversione per i numeri.
Oggi si avverte il desiderio di cambiamento, la necessità di seri e concreti progetti didattici che possano portare lo studente e in generale il pubblico dei non addetti ai lavori, verso un’immagine diversa della matematica, meno fredda e meno antipatica. Il matematico vorrebbe non solo rivendicarne l’importanza in tutte le sue applicazioni (con le quali però non dev’essere confusa) ma farne scoprire la bellezza, il piacere che può procurare a chi se ne occupa. La matematica è il più bel gioco inventato dall’uomo e come tale dovrebbe arrivare allo studente.
Per rendersi conto della condizione insostenibile dell’insegnamento della matematica, è sufficiente dare un’occhiata ai programmi, ancora fermi all’Ottocento (... forse al Seicento), passati attraverso l’”insiemistica” e, almeno per ora, anche attraverso la rivoluzione informatica, senza cambiamenti sostanziali e le poche innovazioni introdotte non hanno mai avuto alcun effetto pratico sul lavoro in classe degli studenti.
Si pensi, ad esempio, per quanto riguarda il nostro paese, ai programmi del Liceo Classico, dove generalmente si perdono i primi due anni per ripetere il programma di terza Media e dove ci si perde poi tra logaritmi e trigonometria:
“a diciotto anni gli studenti - osserva Gabriele Lolli - buttano via un anno, di quelli in cui la mente è più fresca e ricettiva, sulla trigonometria (anzi, sulle espressioni trigonometriche, senza neanche vedere quali problemi sono stati risolti con la stessa). La palla al piede, il mito, l’alibi del programma. Chi insegna all’Università agli studenti di Fisica, Informatica, Ingegneria, sperimenta che gli studenti che arrivano dalla maturità non hanno alcuna idea che la matematica possa uscire da se stessa, da quel gioco (?) gratuito che hanno subito per anni, non hanno idea di come affrontare un problema matematizzandolo, come scegliere le strutture e gli strumenti adatti, cosa voglia dire ragionare formalmente, perché si facciano dimostrazioni, come controllare e valutare i risultati delle loro calcolatrici.
Negli Usa c’è un’analoga preoccupazione per il rendimento matematico medio della popolazione, con dati anche lì contraddittori, ma almeno ci si muove, in una continua rivoluzione e sperimentazione di contenuti e forme di presentazione”.
E proprio di questi nuovi tentativi di rinnovamento della didattica della matematica ai quali fa riferimento Lolli, di questi dibattiti che hanno il loro punto di riferimento nel mondo anglosassone, vogliamo riportare alcuni elementi di riflessione, nella certezza che anche la nostra scuola ne possa trarre vantaggio.
Il punto di partenza che proponiamo, per un dibattito sull'insegnamento della matematica, è un documento del National Council of Teachers of Mathematics: STANDARDS 2000. Un documento complesso, di 342 pagine, che analizza i problemi della didattica della matematica a tutti i livelli e che si può scaricare direttamente da Internet, all’indirizzo dell’NTCM.
“Il salto alla “società dell’informazione” afferma l’NTCM - richiede una padronanza dei nuovi strumenti tecnologici e una abilità nel maneggiare insiemi di informazioni e di dati sempre più estesi, che era assolutamente inimmaginabile fino a pochi anni fa. Una persona cambia lavoro con sempre maggior frequenza e tale cambiamento richiede flessibilità e competenze sempre maggiori.
Gli studenti delle superiori devono quindi imparare ad affrontare problemi complessi riguardanti aspetti diversi della matematica. Devono essere capaci di analizzare e risolvere i problemi che incontrano, senza sapere a priori quale area della matematica applicare, poiché né nel mondo reale né in quello astratto della matematica si fanno problemi chiaramente etichettati, con l’indicazione dei particolari metodi algebrici o geometrici da applicare.”
Il documento, fin dalle prime pagine, sottolinea giustamente il ruolo essenziale del computer nella scuola:
“Il fatto che uno studente debba dire al computer che cosa fare e che quest’ultimo faccia esattamente quello che gli è stato ordinato di fare, rende il concetto di algoritmo molto concreto, in un modo che sarebbe altrimenti impossibile portare al giovane studente. [...] La scuola che non ha un livello tecnologico equivalente a quello che si ritrova nell’ambiente esterno e che non prepara in modo adeguato, colloca i suoi studenti in una posizione di grave svantaggio”.
L’NTCM, l’associazione degli insegnanti americani, propone poi una serie di punti ritenuti essenziali per un programma di matematica, punti da sviluppare ovviamente in modo diverso ai vari livelli.
In sintesi, sono i seguenti:
Numero e Operazione - Migliorare la comprensione dei sistemi di rappresentazione di numeri e quantità, portando lo studente a lavorare anche con numeri complessi e matrici. Introdurre nuove idee matematiche come progressioni e successioni.
Modelli, Funzioni e Algebra - Usare forme simboliche per rappresentare e analizzare situazioni matematiche e strutture. Usare modelli matematici e analizzare variazioni in contesti sia reali che astratti. Semplificare espressioni e risolvere equazioni e disequazioni è parte del programma di algebra delle superiori, ma svolta isolatamente questa operazione lascia allo studente la sensazione che l’algebra sia una manipolazione di simboli decontestualizzata.
Geometria e Senso dello Spazio - Analizzare caratteristiche e proprietà degli oggetti geometrici a due e a tre dimensioni. Riconoscere l’utilità delle trasformazioni e della simmetria nell’analisi di situazioni matematiche. Utilizzare la visualizzazione e il ragionamento spaziale nella risoluzione dei problemi.
Misure - Applicare tecniche, strumenti e formule diverse per determinare misure.
Analisi dei dati, Statistica e Probabilità - Porre domande, raccogliere, organizzare e rappresentare i dati con le risposte ottenute. Sviluppare e valutare conseguenze, previsioni e ragionamenti basati sui dati. Capire e applicare le nozioni fondamentali di caso e probabilità.
Problem Solving - Costruire nuove conoscenze matematiche, applicando le diverse strategie nella risoluzione di problemi e adattando le strategie alle nuove situazioni.
Ragionamento e Prova - Riconoscere l’importanza del ragionamento e della prova, facendo congetture matematiche e svolgendo indagini su queste.
Comunicazione - Organizzare e consolidare il pensiero matematico degli studenti in modo che siano in grado di poterlo esporre correttamente.
Connessioni - Riconoscere e utilizzare le connessioni fra diverse idee matematiche.
Rappresentazione - Creare e usare rappresentazioni matematiche per organizzare, registrare e comunicare idee matematiche.
L’NTCM attribuisce una grande importanza al “problem solving”, intendendo con questo “ l’impegno dello studente su un problema di cui non conosce in anticipo il metodo di risoluzione”, come invece solitamente accade per gli esercizi “meccanici” dei nostri manuali.
“Per trovare la soluzione - dice il documento dell’NCTM - gli studenti devono utilizzare le loro conoscenze matematiche in modi diversi arrivando così a sviluppare nuove capacità. Il problem-solving dev’essere parte integrante dello studio della matematica, non una parte a sé stante del programma. Questo significa che è necessario offrire agli studenti occasioni di coinvolgimento in problemi complessi, sufficientemente ricchi e differenziati da incoraggiarli a sviluppare le loro competenze. Il problem solving dev’essere uno degli elementi portanti dell’esperienza della scuola media superiore.
L’impegno dell’insegnante dev’essere quindi rivolto essenzialmente alla creazione di un ambiente che favorisca la disponibilità degli studenti all’impegno matematico. La strada per la soluzione di un problema non sempre è immediata ed evidente. Gli studenti devono sentire il desiderio di buttarsi sul problema, di “sporcarsi le mani” nell’esplorarne i diversi aspetti, prima di trovare un approccio potenzialmente produttivo.
E’ indicativa, su questa linea, la testimonianza di Douglas R. Hofstadter che presenta una serie di problemi relativi alle successioni numeriche nel suo libro Concetti fluidi e analogie creative, uno dei primi libri da consigliare all’insegnante intenzionato a tentare nuovi percorsi didattici:
“In una mia incarnazione precedente, come studente di matematica, di una cosa ero andato convincendomi: che il riconoscimento delle strutture è prossimo al, se non il, nucleo dell’intelligenza. In quei giorni ormai lontani, mi piaceva escogitare problemi curiosi e tentare di risolverli; accadeva spesso che il problema da me architettato portasse a qualche successione numerica del tutto inaspettata. Cominciavo a calcolarne i termini ed ero eccitato quando affiorava una successione dotata di una struttura chiara, anche se non ancora del tutto definita; questi casi agivano come richiami potenti e mi immergevano nell’affascinante ricerca dell’essenza segreta di quella successione”.
Il problem solving è uno strumento didattico efficacissimo, ma non è naturalmente l’unica strada per arrivare a scoprire il fascino della matematica. Ci sono percorsi storici e di gioco che devono entrare nel programma scolastico per evidenziare il ruolo della matematica come parte del patrimonio culturale dell’uomo. Certo le applicazioni sono importanti, ma la matematica è più vicina alla poesia che alla tecnica, come diceva Weierstrass, “un matematico che non abbia un po’ del poeta non può essere un perfetto matematico”.
Osserva Keith Devlin, autore di un libro prezioso per l’insegnante, Dove va la matematica :
“L’obiettivo principale nella scuola dovrebbe essere quello di creare una consapevolezza sull’importanza della matematica e sul ruolo che gioca nella società contemporanea. E per questo la matematica dovrebbe essere insegnata come si insegna storia o geografia - non come uno strumento pratico, ma come parte integrante della cultura dell’uomo. Insegniamo la matematica come parte della nostra cultura è il risultato sarà un maggior numero di studenti che vorranno imparare la matematica. Per di più, per essere sicuri che i nostri studenti sappiano trovare la risposta esatta usando le moderne tecnologie, dobbiamo anche fare in modo di interessarli alla matematica come creazione del pensiero umano, sviluppato attraverso i secoli allo scopo di migliorare la qualità della nostra vita. Per questo, dobbiamo tentare di far vedere, in modi diversi, il ruolo della matematica nella società attuale, arrivando anche a presentarne alcuni degli aspetti più recenti.
Forse questo è l’unico modo per riuscire a produrre una generazione che non sia matematico - fobica o paralizzata dall’ansia matematica [...] La maggior parte di quelle capacità di base sulle quali in futuro sarà possibile costruire le competenze matematiche necessarie, hanno poco a che fare con i numeri e con l’aritmetica. L’era industriale è stata l’era dei numeri e dell’aritmetica. L’attuale società dell’informazione è completamente diversa. La matematica che si usa oggi prevede modelli astratti, relazioni e strutture. Di conseguenza, la matematica che dobbiamo insegnare ai nostri studenti non può essere quella imparata dai loro genitori. Questo ovviamente non la rende più facile o meno rigorosa. Al contrario”.
E l’insegnante? Dev’essere pronto a cambiare non solo i propri programmi, ma il proprio ruolo. Non più custode di un sapere da trasmettere dalla cattedra, ma disponibile a scendere fra gli studenti per scoprire insieme nuove idee e nuove soluzioni:
Il Triangolo esiste? - si chiede Hilary Povey della Sheffield Hallam University - la natura della matematica è comunemente legata a un’idea di verità assoluta. Le verità della matematica vengono intese come certe, indiscutibili, oggettive e immutabili. La matematica non è legata a valori morali e umani e la sua collocazione storica e sociale è irrilevante di fronte alla sua evidenza come verità. In una classe in cui prevalgano tali principi, l’insegnante vede la matematica come una successione di istruzioni procedurali intese come astoriche e inalterabili. Il modello di insegnamento sarà quindi pre-definito e lo studente non avrà la possibilità di metterlo in discussione. La conoscenza arriva dal maestro e l’insegnamento consiste nel trapiantare i suoi modelli mentali nella testa dell’allievo. La conoscenza è convalidata da un’autorità esterna.
Un’alternativa si fonda su una visione della matematica costruita insieme, insegnante e allievo, vista come prodotto del pensiero dell’uomo, e quindi storicamente collocata, influenzata da chi la studia e da chi la insegna e quindi mutevole. Di conseguenza, si tiene conto dell’indagine dello studente e del momento di elaborazione del significato di un concetto . Il punto focale si sposta dalla presentazione di “ciò che si conosce” da parte dell’insegnante all’indagine di “ciò che non si conosce” da parte dello studente. Questo consente di sviluppare la capacità critica dello studente, offrendogli la possibilità di capire che le cose possono anche essere diverse da come ci vengono presentate”.
Idee simili vengono quelle espresse da Chilakamarri Vijayalakhmi, del King’s College di Londra. Anche queste osservazioni, come le precedenti, sono tratte dalle relazioni di un interessante convegno su Educazione matematica e società che si è tenuto lo scorso anno all’Università di Nottingham, relazioni che si trovano integralmente su Internet, all’indirizzo dell’Università stessa. Il matematico indiano identifica chiaramente il punto centrale dell’insegnamento della matematica:
“In tutto il mondo tanti studenti rifiutano la matematica, la temono e la trovano sgradevole. Nelle scuole, non solo indiane, i programmi prevedono algoritmi, regole, capacità e metodi che insistono sul “fare” piuttosto che sul “pensare” la matematica. I contenuti hanno tempi rigidi di svolgimento e le verifiche non danno importanza alle abilità, agli interessi e al livello cognitivo dello studente. Il presupposto è che la matematica deve “scorrere” dal livello più alto, quello dell’insegnante, a quello più basso, quello dell’allievo, ignorando qualsiasi relazione interpersonale. Gli insegnanti si regolano per le loro lezioni sulla capacità di uno studente medio, che in realtà non esiste, con il risultato di annoiare tutta la classe. L’insegnamento della matematica è dominato dalla disumanità, dalla spersonalizzazione e dalla decontestualizzazione. Come risultato, lo studente si chiede che cosa stia studiando e perché, ma non trova una risposta.
La proposta è di integrare un approccio formativo, che vada oltre l’argomento specifico, allo scopo di sviluppare le abilità cognitive e le motivazioni dello studente, con un approccio integrativo, che insista sulla flessibilità del programma di studio e sui procedimenti del problem solving. In questo modo si potranno individuare unità curriculari flessibili e procedimenti “aperti”, adatti alla psicologia di ogni individuo.
La cultura non è una “cosa” che possa semplicemente passare da una persona all’altra. E’ un processo interpersonale e quindi interattivo tra chi insegna e chi impara”.
La rivoluzione informatica ha evidenziato il ruolo fondamentale della matematica nella nostra società. Oggi è indispensabile conoscere la matematica, una conoscenza che significa padronanza degli strumenti necessari per potersi muovere nella società dell’informazione. L’educazione matematica è un problema politico e come tale dev’essere affrontato. Non è più argomento interno al mondo della scuola, ma deve essere tema di un ampio dibattito pubblico. Sono necessari progetti e interventi coraggiosi che possano rinnovare la nostra scuola.
Il 2000 è stato proclamato “Anno della Matematica” con il riconoscimento, da parte dell’UNESCO, dell’importanza centrale che ha assunto oggi la matematica con le sue applicazioni in tutti i campi. Obiettivo dichiarato dai promotori dell’iniziativa è proprio quello di rinnovare l’immagine piuttosto appannata della matematica, “vista come disciplina autoritaria e dai principi assoluti”. E’ un’occasione da non perdere, l’ignoranza matematica porta infatti all’emarginazione e all’esclusione dai grandi progetti che stanno trasformando la nostra società. Il problema dell’insegnamento della matematica non nasce oggi, ma è un problema antico, sempre presente ai matematici più accorti, preoccupati di riuscire a portare le loro idee al di fuori dell’ambito strettamente professionale. Ricordiamo, ad esempio, le battaglie di Giuseppe Peano contro testi scolastici asfittici e contro insegnanti con poco amore per l’insegnamento e che a difesa della matematica e del suo valore culturale e sociale fondò a Torino, cent’anni fa, la Mathesis, con un gruppo di insegnanti e di altri docenti universitari. Peano ha scritto un aureo libretto, Giochi di aritmetica e problemi interessanti, dal quale appare evidente la sua preoccupazione di evidenziare le radici sociali e culturali della matematica, di uscire dalle “aride formule” e di ritrovare situazioni e problemi concreti da sottoporre agli studenti. Sono sue le parole con le quali chiudiamo il nostro intervento:
“La differenza fra noi e gli allievi affidati alle nostre cure sta solo in ciò, che noi abbiamo percorso un più lungo tratto della parabola della vita. Se gli allievi non capiscono, il torto è dell’insegnante che non sa spiegare. Né vale addossare la responsabilità alle scuole inferiori. Dobbiamo prendere gli allievi come sono, e richiamare ciò che essi hanno dimenticato, o studiato sotto altra nomenclatura. Se l’insegnante tormenta i suoi studenti, e invece di cattivarsi il loro amore, eccita odio contro sé e la scienza che insegna, non solo il suo insegnamento sarà negativo, ma il dover convivere con tanti piccoli nemici sarà per lui un continuo tormento. Ognuno si fabbrica la sua fortuna, buona o cattiva. Chi è causa del suo mal, pianga sé stesso. Così disse Giove, e lo riferisce Omero, Odissea I, 34. Con questi principi, caro lettore e collega, vivrai felice”.
Federico Peiretti
cento libri tra didattica e divulgazione
I libri segnalati per questa “biblioteca matematica”, una sezione che dovrebbe essere presente nelle biblioteche di tutti gli istituti scolastici e che invece è difficile trovare, sono quelli adatti allo studente che intende approfondire gli argomenti trattati in classe o all’insegnante che vuole proporre nuove idee e nuovi percorsi ai suoi studenti. E’ sicuramente una scelta personale, tutta da verificare, anche con l’aiuto degli insegnanti della Mathesis.
Si tratta dei libri pubblicati in questi ultimi anni, esclusi ovviamente i manuali e i testi scolastici. Sono inoltre riportati alcuni classici sempre attuali, anche se a volte non si trovano più in commercio.
Dobbiamo dire che l’editoria, in generale, segue con scarsa attenzione le pubblicazioni di matematica, sono rare le collane organiche e le pubblicazioni sono casuali e discontinue. Si devono attendere anche molti anni, se non decenni, per avere la traduzione italiana di opere essenziali (si veda il caso della Storia del pensiero matematico, di Morris Kline, pubblicata vent’anni dopo l’edizione originale).
Sarebbe ingiusto comunque ritenere che gli editori siano gli unici responsabili di questa scarsa attenzione alla matematica. Sono infatti rari i matematici italiani che si occupano di didattica o di divulgazione e gli insegnanti o le biblioteche scolastiche acquistano sempre meno libri. I best seller matematici, come Il mago dei numeri, sono molto rari e la strada per cambiare la situazione è ancora quella di una diversa educazione matematica degli studenti. Se l’insegnante di storia o quello di italiano, durante l’anno scolastico, consigliano allo studente la lettura di altri libri, oltre quelli di testo, perché non dovrebbe fare altrettanto l’insegnante di matematica, se è convinto del valore culturale della sua disciplina?
Se riusciremo a rendere più gradevole l’immagine della matematica, ci sarà una maggiore attenzione per i libri di matematica ed anche gli editori ritorneranno ad occuparsene più seriamente.
AA. VV., Le Olimpiadi della matematica, problemi dalle gare italiane, Zanichelli, 1994
Una selezione dei problemi delle Olimpiadi suddivisi per argomento e di difficoltà crescente. A conferma del fatto che la matematica è “campo di sfida e, soprattutto, è fonte di divertimento intellettuale”.
AA. VV., Problemi di Matematica, Zanichelli, 1995
I problemi per il concorso di ammissione alla Scuola Superiore di Studi Universitari e di Perfezionamento Sant’Anna. Un’occasione per gli studenti dell’ultimo anno delle superiori di mettere alla prova la loro preparazione e la loro inventiva.
Edwin A. Abbott, Flatlandia, racconto fantastico a più dimensioni, Adelphi, 1966
Il più originale e divertente punto di partenza per l’introduzione della geometria. Un classico della letteratura inglese indispensabile per arrivare alla comprensione dello spazio e della quarta dimensione.
A. D. Aleksandov, Le Matematiche, Boringhieri, 1974
Con un’esposizione semplice e piana il libro chiarisce l’evoluzione dei concetti fondamentali dell’analisi, dell’algebra e della geometria analitica, mettendo in rilievo l’importanza della matematica nella storia del pensiero e della cultura.
Piero Antognini e Giulio Cesare Barozzi, Matematica e Mathematica, Zanichelli, 1995
Un’introduzione all’uso di Mathematica, uno dei più noti sistemi per il trattamento e la rappresentazione di dati quantitativi. L’autore si concentra sulle applicazioni di tipo matematico attraverso l’uso nella soluzione di problemi.
Clifford W. Ashley, Il libro dei nodi, Rizzoli, 1974
Sono quattromila i nodi descritti dall’autore, marinaio di grande esperienza, in modo originale e divertente. Non c’è ancora matematica, ma è un ottimo punto di partenza per lo studio di uno degli argomenti più affascinanti: la teoria dei nodi.
Robert Axelrod, Giochi di reciprocità, l’insorgenza della cooperazione, Feltrinelli, 1985
Quali sono i vantaggi e le possibilità di cooperazione fra individui? il dilemma è al centro della teoria dei giochi e l’autore, con un linguaggio chiaro e brillante, indaga in quali condizioni possa emergere e svilupparsi la cooperazione, nelle transazioni d’affari, in amore o in guerra, nelle situazioni più diverse. E’ un libro di grande interesse che Hofstadter ha definito “affascinante, sorprendente, incredibile: sono aggettivi che ritengo possano darvi un’idea di quello che penso veramente di questo libro”.
Thomas F. Banchoff, Oltre la terza dimensione, geometria, computer graphics e spazi multidimensionali, Zanichelli, 1993
Il grande esperto degli oggetti dell’iperspazio, Thomas Banchoff, ci invita ad entrare nella quarta dimensione. E’ un libro scritto non soltanto per i matematici, ma per chiunque voglia tentare di capire un concetto fondamentale come quello di dimensione. E’ un gioco, una provocazione o, più seriamente, un’esplorazione del nostro universo, un tentativo di renderlo più comprensibile, creandoci nuovi dubbi e nuove incertezze.
Giulio Cesare Barozzi, Aritmetica, un approccio computazionale, Zanichelli, 1987
L’Aritmetica, “regina delle matematiche”, come scrisse Gauss, rivista al calcolatore. “Un contributo - scrive l’autore - alla rilettura in chiave algoritmica di alcuni classici i argomenti della teoria elementare dei numeri, come palestra per lo sviluppo di un’attitudine costruttiva di fronte ai problemi matematici”.
J. D. Barrow, Perché il mondo è matematico?, Laterza, 1992
Il libro raccoglie una serie di brevi lezioni tenute presso alcune università italiane sulla natura e il significato della matematica. L’autore presenta i nuovi sviluppi nello studio dei sistemi complessi e caotici partendo dai primi sistemi di calcolo e dalle parole usate per esprimere i numeri nel mondo antico e nelle società primitive.
Stella Baruk, Dizionario di Matematica elementare, Zanichelli, 1998.
Le parole della matematica molte volte hanno un significato diverso da quello usuale, e per capirle può essere utile anche un dizionario. Lo propone Stella Baruk, esperta francese in didattica della matematica, come "lo strumento che permetta a uno studente di terza media, di fronte all’enunciato di un problema di disporre dei mezzi per comprendere e anche per rispondere alle domande poste". Mancano voci importanti, ma le scelte fatte non potevano ovviamente essere neutre e riflettono l'esperienza personale dell'autrice.
Eric T. Bell, I grandi matematici, Sansoni, 1990
L’autore, a volte, si lascia prendere la mano dal racconto, trascurando per questo la verità storica. E’ comunque un libro di lettura piacevole e stimolante, un classico della divulgazione, che rimanda a ulteriori approfondimenti.
Gemma Beretta, Ipazia d’Alessandria, Editori Riuniti, 1993
La vita e il pensiero della grande matematica greca sullo sfondo dei conflitti politici e religiosi che caratterizzarono la sua epoca. Fu l’ultima grande astrologa dell’antica scuola matematica di Alessandria. Morì assassinata nelle strade della sua città nel 415 d. C.
Pierre Berloquin, Il centogiochi, Garzanti, 1979
I giochi da tavola, dagli scacchi ai più moderni lo Zero e le croci, i Forti, la Rosetta. Giochi che sono sfide alla nostra intelligenza e che possono essere punti di partenza per divertenti ricerche matematiche.
Pierre Berloquin, Misurate la vostra intelligenza, Oscar Mondadori, 1982.
Una raccolta di test di difficoltà progressiva da utilizzare anche semplicemente come raccolta di giochi.
Federico Bini, Numeri, un mondo da decifrare, Leonardo, 1990
Una curiosa collezione di numeri scovati in migliaia di statistiche e riguardanti l’economia, l’alimentazione e le “quotidiane abitudini del mondo”.
Umberto Bottazzini, Il flauto di Hilbert, storia della matematica moderna e contemporanea, UTET, 1990
Un libro che ha il grande merito di mettere in evidenza il ruolo dei matematici italiani nei più recenti sviluppi della disciplina.
Carl B. Boyer, Storia della matematica, ISEDI, 1976
E’ probabilmente il primo libro da cui partire per scoprire la matematica, la sua storia e le sue idee. L’autore riesce a racchiudere in un solo volume una quantità enorme di informazioni anche pratiche su protagonisti, teoremi e concetti matematici.
Giovanni Buffa, Fra numeri e dita, Zanichelli, 1986
Un libro poco noto, ma affascinante, sui rapporti fra i numeri e la nostra mano. Buffa propone un percorso originale tra le varie culture e partendo dal gesto, attraverso il conteggio, arriva alla formazione del concetto astratto di numero.
Lucas N. H. Bunt, Phillip S. Jones e Jack D. Bediente, Le radici storiche delle matematiche elementari, Zanichelli, 1983
I fondamenti storici dell’aritmetica, dell’algebra e della geometria, dai babilonesi e gli egiziani agli sviluppi dell’aritmetica e dei sistemi di numerazione dopo i greci.
Gerolamo Cardano, Della mia vita, Serra e Riva, 1982
L’autobiografia del celebre medico e matematico del Cinquecento. Una lettura divertente e curiosa sulle avventure di uno dei grandi protagonisti dell’epoca.
Lewis Carroll, Alice, Longanesi, 1971
L’edizione del capolavoro di Lewis Carroll. I due libri delle Avventure di Alice con il commento di Martin Gardner, il grande esperto in giochi matematici, che mette in evidenza tutti gli aspetti matematici dell’opera.
K. C. Cole, L’Universo e la tazza da tè, Longanesi, 1999
“La matematica - afferma Cole - non riguarda tanto i numeri quanto un modo di pensare”. E senza scrivere una formula o un’equazione, dimostra come la matematica ci possa aiutare anche per orientarci nelle nostre scelte quotidiane. Il carattere antidemocratico dei sistemi elettorali, gli errori commessi dal buon senso nella valutazione di rischi quali i viaggi in aereo, la mancanza di fondamento logico dei pregiudizi razziali sono alcuni dei temi affrontati accanto a quelli più scientifici come la teoria della relatività. Cole però non parla di matematica, ma delle sue applicazioni.
Iohn H. Conway e Richard K. Guy, Il libro dei numeri, Hoepli, 1999
Uno dei più bei libri di divulgazione della matematica di questi ultimi anni. Conway è il padre di alcuni celebri giochi matematici (ricordiamo il Gioco della Vita) ed anche matematico di prestigio. Gli autori, partendo da semplici idee di gioco o comunque di sicuro interesse, propongono percorsi che portano alla scoperta dei grandi concetti della matematica.
Richard Courant e Herbert Robbins, Che cos’è la Matematica?, Boringhieri, 1971.
Un classico, del quale è uscita una nuova edizione nel 1996, con la collaborazione di Ian Stewart. Indispensabile allo studente e all’insegnante che vuole approfondire idee e metodi della matematica, oltre il semplice calcolo e la memorizzazione di regole. “Una lucida presentazione dei concetti e dei metodi fondamentali della matematica - è il commento di Albert Einstein - facilmente comprensibile”.
Luciano Cresci - Le curve celebri - Muzzio, 1998
Cresci, informatico, affascinato dalla matematica ricreativa, presenta le curve più belle e alcuni “oggetti del desiderio” relativi a problemi che hanno ammaliato per secoli i matematici, come la quadratura del cerchio, la duplicazione del cubo o la trisezione di un angolo. Ordinate come farfalle o francobolli, le curve sono accompagnate da brevi annotazioni storiche e dalle formule che le possono generare al computer.
Tobias Dantzig, Il Numero linguaggio della scienza, La Nuova Italia, 1967
Com’è nato il numero e come si è sviluppata l’attività del contare nelle varie civiltà ed epoche storiche. Considerazioni antropologiche, filosofiche, linguistiche e archeologiche arricchiscono questo ampio studio di storia della matematica adatto anche ad un giovane studente.
P. J. Davis e R. Hersh, Il sogno di Cartesio, Edizioni Comunità, 1988
Il libro propone una riflessione sul ruolo fondamentale della matematica nella “società dell’informazione” e sui rischi, secondo gli autori, di una eccessiva invadenza della matematica.
Harold Davenport, Aritmetica superiore, un’introduzione alla teoria dei numeri, Zanichelli, 1994
Una trattazione dei numeri naturali semplice, ma che prevede da parte del lettore una conoscenza delle nozioni matematiche di base. Il libro riporta molti esempi numerici che chiariscono la teoria matematica e dimostrano come i numeri siano sovente alla base della formulazione di teoremi generali, non solo dell’aritmetica.
René Descartes, Le Opere, Utet, 1994
In due volumi, curati da Ettore Lojacono, tutte le opere filosofiche di Cartesio. Grande rilievo è assegnato alla corrispondenza che consente di offrire una testimonianza del Cartesio privato e dell’intellettuale consapevole dei fermenti culturali e politici che agitano l’Europa del Seicento.
Keith Devlin, Dove va la matematica, Bollati Boringhieri, 1994
L’autore, matematico e ottimo divulgatore, si è posto un obiettivo ambizioso: mostrare al pubblico dei non specialisti in quali direzioni si sia mossa la ricerca matematica negli ultimi decenni. Alcuni argomenti sono ormai classici, il teorema di Fermat o i frattali, altri sono meno conosciuti e richiedono un certo impegno da parte del lettore, come i “gruppi finiti semplici” o la “funzione zeta di Riemann”.
Jean Dieudonné, L’arte dei numeri, Matematica e matematici oggi, Mondadori, 1989
Una difesa appassionata della Matematica rivolta a chi non è matematico di professione. L’autore, noto come uno dei protagonisti del gruppo dei bourbakisti, racconta l’evoluzione della Matematica da quella classica ottocentesca a quella contemporanea. Il titolo originale dell’opera, Per l’onore dello spirito umano, richiama un’osservazione di Jacobi: “L’unico oggetto della scienza è l’onore dello spirito umano e in questa prospettiva un problema di teoria dei numeri vale tanto quanto una questione sul sistema planetario”.
Dizionario Enciclopedico Scientifico e Tecnico, McGraw-Hill, Zanichelli, 1998
Uno strumento indispensabile per chi studia o lavora in campo scientifico nella nuova edizione in versione multimediale. Il nuovo dizionario, condotto sull’ultima edizione dell’opera originale americana, riporta nella sezione Inglese - Italiano 105.000 voci con le definizioni in lingua inglese ed ogni termine in lingua italiana. Il CD-ROM contiene l’intera sezione inglese del dizionario ed ha un utile motore di ricerca, essenziale ma efficace, che consente di ritrovare velocemente parole o combinazioni di parole.
Simonetta di Sieno, Angelo Guerraggio e Pietro Nastasi, La matematica italiana dopo l’unità, Marcos y Marcos, 1998
Primo di quattro volumi, analizza la Matematica negli anni tra le due guerre mondiali. Si tratta di un’opera collettiva che prevede altri tre testi riguardanti il periodo successivo all’Unità, i decenni sino alla fine della prima guerra mondiale e gli anni della Ricostruzione dopo la seconda guerra mondiale.
William Dunham, Viaggio attraverso il genio. I grandi teoremi della matematica, Zanichelli, 1995
Alcuni dei grandi risultati storici della matematica, raccontati sia con le relative dimostrazioni che attraverso la ricostruzione dell’ambiente e dell’epoca in cui vennero raggiunti.
Manfried Eigen e Ruthild Winkler, Il gioco, le leggi naturali governano il caso, Adelphi, 1986
Eigen non è un matematico, ma un chimico e con la sua collaboratrice, Ruthild Winkler, presenta un’analisi del gioco che appoggia su problemi scientifici tratti dal mondo reale, non da pure teorie matematiche. La sua ipotesi è che anche l’universo, la vita stessa, non solo l’uomo, ama il gioco e sulle sue regole del “caso e necessità” fonda le sue leggi naturali.
Michele Emmer, La perfezione visibile, matematica e arte, Theoria, 1991
I rapporti fra Matematica e Arte: un tema al quale l’autore ha dedicato film, mostre e convegni, esperienze diverse che lo hanno portato a riflessioni, raccolte nel libro, sulla natura e il significato della Matematica.
Michele Emmer, Bolle di sapone, La Nuova Italia, 1991
Solo un matematico poteva pensare di raccogliere bolle di sapone, fragili ed effimeri riflessi della struttura dell’Universo. Emmer le ha catalogate diligentemente per anni, scovandole nei quadri, nelle poesie, nella matematica, nei giochi, nella fisica e con la sua esperienza di matematico ha scritto una delle opere più originali e divertenti.
Endres e Schimmel, Dizionario dei numeri: storia, simbologia, allegoria, Red Edizioni, 1991
Lunga, affascinante e misteriosa è la storia dei numeri. Gli autori portano numerose testimonianze sui valori soprannaturali attribuiti ai numeri dai popoli antichi costruendo un originale percorso sui simboli e le leggende della matematica dalla preistoria ad oggi.
Hans Magnus Enzensberger, Il mago dei numeri, Einaudi, 1997
Uno dei più grandi scrittori tedeschi contemporanei, ama la matematica e ha scritto un libro di matematica bizzarro e divertente. Un mago dai mille giochi di prestigio fa scoprire ad un ragazzo il mondo incantato dei numeri.
Federigo Enriques e Giorgio de Santillana, Compendio di storia del pensiero scientifico, Zanichelli, 1973
Federigo Enriques, - Le matematiche nella storia e nella cultura, Zanichelli, 1982
Federigo Enriques, Questioni riguardanti le matematiche elementari, Zanichelli, 1983
Ristampa anastatica di alcune opere di Enriques, tra didattica e divulgazione. Il grande matematico presenta le sue esperienze personali nei diversi campi della ricerca matematica e un’analisi critica dello sviluppo delle idee, anche per una loro possibile introduzione nella scuola.
Michela Fontana, Percorsi calcolati, le nuove avventure della Matematica, Le Mani, 1988
Incontri con alcuni grandi scienziati alla scoperta dei loro rapporti con la matematica.
Martin Gardner,
Enigmi e giochi matematici, Vol. I-II-III-IV-V, Sansoni
Carnevale matematico, Zanichelli, 1977
Show di magia matematica, Zanichelli, 1980
Circo matematico, Sansoni, 1981
L’incredibile dottor Matrix, Zanichelli, 1982
L’universo ambidestro, Zanichelli, 1984
Enigmi da altri mondi, Sansoni, 1986
Martin Gardner è il più grande esperto in giochi matematici. Con la sua celebre rubrica su Scientific American e con i suoi libri ha dimostrato come la matematica possa essere divertente. Le sue collezioni di giochi e di problemi, le sue chiare e precise presentazioni degli argomenti fondamentali della matematica, sono una fonte inesauribile di spunti per indagini e ricerche appassionanti.
“Ho sempre pensato - scrive Martin Gardner - che il modo migliore per rendere la matematica interessante a studenti e non, sia quello di accostarla come fosse un gioco. A livelli superiori, quando è applicata a problemi concreti, essa può e dev’essere terribilmente seria. A livello più basso, nessun studente può essere motivato a studiare, ad esempio, la teoria astratta dei gruppi dicendogli che la troverà bella, interessante, o addirittura utile quando diventerà un fisico delle particelle elementari. Sicuramente il modo migliore per tenere sveglio uno studente è quello di presentargli giochi matematici abbastanza complicati, puzzles, trucchi “magici”, giochi di prestigio, paradossi, modelli, giochi di parole, insomma tutte quelle cose che gli insegnanti pedanti cercano di evitare perché sembrano frivole”.
Italo Ghersi - Matematica dilettevole e curiosa - Hoepli, 1978
Un vecchio libro di giochi, rompicapi e problemi matematici, diventato un classico. E’ particolarmente ricca la parte dedicata ai problemi geometrici da risolvere, oggi, con l’aiuto del computer.
Enrico Giusti, Ipotesi sulla natura degli oggetti matematici, Bollati Boringhieri, 1999.
Il libro descrive “il faticoso emergere alla realtà - dice l’autore docente di Analisi all’Università di Firenze - di alcuni tra i principali oggetti della matematica”. Numeri, curve, figure geometriche sono alcuni argomenti comprensibili anche se non si è matematici di professione.
James Gleick - CAOS, la nascita di una nuova scienza - Rizzoli, 1987
Uno dei più bei libri di divulgazione scientifica, scritto da un giornalista scientifico del New York Times. Gleick illustra la “scienza del caos” seguendone gli sviluppi attraverso i ritratti dei suoi protagonisti.
James Gleick, Genio, Garzanti, 1994
Il genio è Richard Feynman, fisico matematico brillante e iconoclasta. “Un tipo un po’ strano - ha detto C. P. Snow - è come se Groucho Marx si trovasse improvvisamente a vestire i panni del grande scienziato”. Gleick, giornalista del New York Times, abilissimo divulgatore, ripercorre la storia della fisica del ventesimo secolo, dal punto di vista americano.
Michael Guillen, Le cinque equazioni che hanno cambiato il mondo, Longanesi, 1997
Matematico e giornalista televisivo, Guillen racconta, con un tono forse un po’ troppo romanzato, la vita e le equazioni di Newton, Bernoulli, Faraday, Clausius e Einstein.
Godfrey H. Hardy, Apologia di un matematico, Garzanti, 1989
L’autobiografia di uno dei grandi matematici di questo secolo. E’ uno dei libri di culto dei matematici, uno dei primi da consigliare a chi non è matematico per capire come si possa amare la matematica. Sono pagine ironiche e brillanti, scritte nel 1940. Tra le righe si legge l’angoscia dello scienziato che invecchiando si rende conto dell’inevitabile declino delle sue capacità creative.
Peter M. Higgins, Divertirsi con la matematica, Garzanti, 1999
Non è un libro di giochi di matematica, ma un libro di matematica che si serve anche di giochi e di una serie di problemi matematici per dimostrare come siano divertenti l’aritmetica, l’algebra e la geometria. Come possiamo calcolare il volume di un krapfen? Quale probabilità abbiamo di vincere a una lotteria? Quando coincidono le lancette di un orologio? Ecco alcune delle domande a cui risponde il libro che si può consigliare al giovane studente delle superiori che vuole ritentare di riavvicinarsi alla matematica, guardata forse con una certa diffidenza.
David Hilbert e Stephan Cohn-Vossen, Geometria intuitiva, Bollati Boringhieri, 1991.
Ristampa anastatica di un classico della Matematica. “In questo libro - scrive Hilbert - vogliamo dare un’idea dello stato attuale della geometria dal punto di vista intuitivo”.
Andrew Hodges, Storia di un enigma. Vita di Alan Turing, Bollati Boringhieri, 1991.
La vita del matematico inglese che indagò sulle macchine logiche. prima che venisse costruito il computer. E’ un libro di matematica che si legge come un romanzo, fedele ricostruzione dell’ambiente scientifico - militare in cui è nato il computer. L’ambiente che portò Turing al suicidio.
Paul Hoffman, La vendetta di Archimede. Gioie e insidie della matematica, Bompiani, 1990
Un racconto affascinante delle avventure della matematica.
Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: un’eterna ghirlanda Brillante, Adelphi, 1984
Un libro sicuramente non di facile lettura che ha avuto un grandissimo successo anche nell’edizione italiana, “dalla struttura satura di complicato contrappunto - come ha detto Martin Gardner - non meno di una composizione di Bach o dell’Ulisse di Joyce. Gödel, Escher e Bach, un logico, un pittore e un musicista legati fra loro da uno strano anello, da una scala che salendo o scendendo ci riporta sempre al punto di partenza. Un fenomeno che Esher ha disegnato, Bach ha messo in musica e Gödel ha posto al centro del suo teorema. Il libro ci porta alla scoperta dell’Intelligenza Artificiale attraverso calcolatori, formicai, gatti, paradossi, forme musicali, neuroni, codici e ribosomi.
Douglas R. Hofstadter, Concetti fluidi e analogie creative, Adelphi, 1996
Uno dei più bei libri di divulgazione di questi ultimi anni. Hofstadter sceglie alcune semplici idee matematiche per portare il lettore oltre la loro definizione, nel momento più importante della loro creazione. Anagrammi, successioni numeriche, giochi matematici, alfabeti tipografici, la disposizione casuale di oggetti su un tavolo, sono esempi molto semplici di problemi che rappresentano una sfida continua a pensare in modo creativo.
Georges Ifrah, Storia universale dei numeri. Mondadori, 1981
L’origine dei numeri e gli antichi sistemi di numerazione, per scoprire che “le cifre - dice Ifrah - lungi dall’essere simboli secchi e aridi sono state in ogni tempo “anche” supporto di sogno, di trascendenza, di speculazione metafisica, nonché materiale di letteratura, sonde dell’incerto avvenire o almeno del desiderio di predirlo”.
Mark Kac, Gli enigmi del caso, vicissitudini di un matematico, Boringhieri, 1986
L’autobiografia di un matematico geniale e la testimonianza di un intellettuale polacco ebreo alla vigilia dell’olocausto. Janic, fisico matematico, presenta la teoria della probabilità come lo strumento necessario per pervenire a “certezze” scientificamente fondate.
J. G. Kemeny, J. L. Snell e G. L. Tompson, Matematica e attività umane, Feltrinelli, 1968
Gli autori presentano una serie di problemi di applicazioni della matematica. Sono problemi di collegamento con le scienze biologiche e sociali, con la logica e la teoria dei giochi da portare in classe come collegamento con le altre discipline di studio.
Hubert C. Kennedy, Peano, storia di un matematico, Boringhieri, 1980
La prima ampia e documentata biografia del grande matematico piemontese, scritta da un matematico americano che ricostruisce l’ambiente in cui visse Peano.
Morris Kline, La matematica nella cultura occidentale, Feltrinelli, 1976
Nella difficile arte del divulgare la matematica, uno dei maestri è Morris Kline. Questo libro in particolare ha avuto un grande e meritato successo anche al di fuori dell’ambiente matematico.
Morris Kline, Matematica, la perdita della certezza, Mondadori, 1983
Gli errori, le sconfitte e i fallimenti della matematica, per dimostrare che questa non è un edificio di certezze assolute. Kline ripercorre la storia del pensiero matematico fino alla grande disputa sui fondamenti, per dimostrare comunque l’efficacia del pensiero matematico, che resta una delle più alte conquiste intellettuali umane.
Morris Kline, Storia del pensiero matematico - Vol. I e II, Einaudi, 1991
Una grande storia della Matematica attraverso i temi e gli uomini che ne sono stati protagonisti. “Un’attenzione particolare è dedicata - scrive Kline - al concetto stesso di matematica, ai cambiamenti che esso ha subito durante le varie epoche e all’idea che i matematici avevano di ciò che stavano facendo”.
Serge Lang, La bellezza della matematica, Bollati Boringhieri, 1991
Conferenze e lezioni esemplari dell’autore. Lang, docente di matematica alla Yale University, riesce a trattare in modo affascinante e originale sia problemi convenzionali quali la lunghezza della circonferenza o la superficie di una sfera sia grandi problemi insoluti sui quali i matematici stanno ancora lavorando, riguardanti ad esempio i numeri primi o le equazioni diofantee.
All’insegnante che afferma: “Non ho tempo, certo vorrei fare anche altre cose, ma il programma è tiranno e non mi lascia spazio” Lang risponde:
Se si tagliano i rami secchi dai programmi, rimane molto tempo per fare della bella matematica”.
Nikolaj Lobacevskij, Nuovi princìpi della geometria, con una teoria completa delle parallele, Bollati Boringhieri, 1994.
Un’opera accessibile anche a chi non è matematico per capire la geometria non euclidea e che cosa abbia rappresentato nella storia della scienza e della cultura.
Gabriele Lolli, Il riso di Talete, Bollati Boringhieri, 1998
Un divertente saggio sulla matematica e l’umorismo. Lolli parte dalle barzellette sui matematici per passare poi a quelle inventate dagli stessi matematici, ai loro giochi di parole e alle loro storie. Ma a questo punto siamo soltanto all’inizio di una ricerca che intende dimostrare come la matematica sia un gioco divertente.
Gabriele Lolli, Beffe, scienziati e stregoni. La scienza oltre realismo e relativismo, il Mulino, 1998
L’epistemologia contemporanea. La natura della conoscenza scientifica dal neopositivismo logico del Circolo di Vienna alle più recenti posizioni del relativismo radicale.
Lucio Lombardo Radice, La matematica da Pitagora a Newton, Editori Riuniti, 1971.
Un agile libretto che parte dalla scoperta dei numeri e arriva, in modo chiaro e semplice, all’introduzione del calcolo differenziale e integrale.
Lucio Lombardo Radice, L’infinito, Editori Riuniti, 1981
Un volumetto purtroppo mai più ristampato che tratta - come dice il sottotitolo - di “numeri, mondi, Dio, spazio, tempo. Da Pitagora a Cantor, itinerari filosofici e matematici di un concetto di base”. E’ un saggio esemplare di divulgazione matematica, ricco di spunti e riflessioni su un concetto che attraversa tutta la storia della matematica.
Sam Loyd, Passatempi matematici, Vol. I e II, Sansoni, 1980
Uno dei grandi maestri dei giochi matematici, presentato da Martin Gardner. Contiene 283 problemi matematici basati sull’aritmetica, l’algebra, la geometria e indovinelli di ogni genere.
Benoit B. Mandelbrot, La geometria della natura, Theoria, 1989
Il padre dei frattali presenta la più recente “rivoluzione matematica” del nostro secolo, rifacendo la storia della sua geometria.
Elliot Mendelson, Introduzione alla logica matematica, Boringhieri, 1972
Uno dei più noti manuali di Logica, un classico, con un’esposizione stringata e impegnativa, accompagnata da un gran numero di esercizi.
Sylvia Nasar, Il genio dei numeri, Rizzoli, 1999
La biografia di un matematico geniale, esperto in teoria dei giochi e premio Nobel per l’economia: John Nash, padre della teoria dell’equilibrio, vittima della schizofrenia, ed anche il teorico di un celebre gioco matematico, Hex.
O. Neugebauer, Le scienze esatte nell’antichità, Feltrinelli, 1974
Uno dei testi più importanti sulla storia del pensiero matematico dai Babilonesi ai Greci. L’autore, considerato la massima autorità in questo settore, accanto ad una profonda conoscenza tecnica dimostra una cultura vastissima che conferisce alle sue pagine un fascino particolare.
Robert Osserman, Poesia dell’universo, esplorazione matematica del cosmo, Longanesi, 1996
Osserman, convinto che la matematica abbia un grande valore estetico, ha scelto un argomento avvincente come lo studio dell’Universo per farne scoprire al profano il fascino discreto. Nel suo breve percorso storico Osserman avanza un ardito, ma seducente confronto tra la concezione dantesca dell’Universo e l’ipersfera di Riemann.
John Allen Paulos, Gli snumerati, Leonardo, 1990
Il libro riporta numerosi esempi e aneddoti per dimostrare l’utilità della matematica nella vita quotidiana. Ma l’autore si affida ad esempi a volte banali, di matematica ragionieristica.
Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Sansoni, 1983
Le idee di Peano sulla didattica della matematica sono sempre attuali e le sue proposte, la sua collezione di problemi sempre utile all’insegnante per un lavoro in classe, oltre i rigidi schemi del programma.
H.-O. Peitgen e P.H. Richter, La bellezza dei frattali, Bollati Boringhieri, 1987
Da una mostra organizzata dagli autori è nato questo libro che raccoglie le splendide immagini create al computer e che spiega come si possono costruire i frattali.
Roger Penrose, La mente nuova dell’imperatore, la mente, i computer, le leggi della fisica, Rizzoli, 1992
Per la prima volta i temi più attuali del dibattito scientifico sono stati portati al grande pubblico da uno dei protagonisti di questa ricerca, in termini scientifici corretti ma comprensibili anche da parte di chi non è del mestiere. “Un libro meraviglioso per profani intelligenti” - lo ha definito Martin Gardner. Penrose , celebre fisico matematico, espone i suoi dubbi sulla meccanica quantistica e sulla possibilità che questa possa essere la teoria finale, in grado di spiegare tutti i processi fondamentali e il suo libro risulta un feroce attacco all’Intelligenza Artificiale.
Roger Penrose, Il grande, il piccolo e la mente umana, Cortina, 1998.
Penrose ha approfittato di una recente serie di conferenze per raccogliere in un libro gli interventi di alcuni suoi illustri colleghi, d’accordo o in polemica con le sue tesi. In questo modo ha realizzato quasi un’introduzione a La mente nuova dell’imperatore. Il “grande” del titolo del libro è la teoria generale della relatività di Einstein, il piccolo è la teoria dei quanti e la mente umana ... non sappiamo ancora che cosa sia.
Rozsa Peter, Giocando con l’infinito, matematica per tutti, Feltrinelli,1973
Un bel libro di alta divulgazione che ci porta ai concetti dell’analisi e delle geometrie non euclidee in modo semplice e piano, con un’esposizione sempre limpida che non evita i concetti “difficili” ma le riduci alle componenti più semplici, intuitivamente comprensibili.
Ivars Peterson, Il turista matematico - Un viaggio nella moderna scienza dei numeri, Rizzoli, 1991
Peterson, giornalista e insegnante di matematica, descrive il lavoro del matematico, a caccia di numeri primi, in lotta contro i nodi, nelle sue incursioni nei mondo di dimensioni superiori o nel gioco delle bolle di sapone, presentando il percorso storico di ogni ricerca e le più recenti applicazioni.
George Polya, Come risolvere i problemi di matematica, Feltrinelli, 1967
George Polya, La scoperta matematica, Feltrinelli, 1971
Due classici della didattica della matematica. L’autore propone semplici e chiari percorsi di risoluzione di problemi, mettendo in evidenza la procedura della scoperta e i relativi processi mentali.
Hilary Putnam, Matematica, materia e metodo, Adelphi, 1993
Filosofo e logico matematico, Putnam affronta in questo libro i rapporti fra logica e matematica, i fondamenti della matematica, la filosofia della meccanica quantistica e alcuni problemi relativistici. Sono i temi della filosofia della scienza in cui Putnam è considerato un maestro.
Lucio Lombardo Radice, L’infinito, Editori Riuniti, 1981
La più semplice e chiara introduzione a uno dei concetti più difficili della matematica. Da Pitagora a Cantor, l’autore ripercorre i percorsi filosofici e matematici di questa idea fondamentale.
Rudy Rucker, La quarta dimensione, un viaggio guidato negli universi di ordine superiore, un viaggio guidato negli universi di ordine superiore, Adelphi, 1984
Studioso degli insiemi transfiniti, Rucker affronta il tema affascinante delle dimensioni che si aprono al di là delle tre che siamo convinti di conoscere. Partendo da Flatlandia, dimostrando rare doti di narratore, l’autore porta il lettore verso i nuovi spazi.
Bertrand Russell, Introduzione alla filosofia matematica, Newton Compton, 1970
Una delle opere più celebri di Russell, in cui vengono esposte sinteticamente e in modo divulgativo gli argomenti fondamentali della sua ricerca matematica.
Doris Schattschneider, Visioni della simmetria, Zanichelli, 1992
Il libro riporta tutti i disegni periodici del pittore-matematico olandese M.C. Escher. Un libro stupendo che finalmente svela i trucchi del mestiere di Escher e che raccoglie tutto il suo lavoro sulla divisione regolare del piano.
William R. Shea, La magia dei numeri e del moto, René Descartes e la scienza del Seicento, Bollati Boringhieri, 1994
L’autore segue, come dice il sottotitolo dell’opera, la carriera scientifica di Cartesio, inserita nel quadro più generale della grande rivoluzione scientifica del Seicento e, accanto al percorso scientifico, traccia un quadro della sua complessa personalità e dell’ambiente in cui visse.
Simon Singh, L’ultimo teorema di Fermat, Rizzoli, 1997
Un fisico e giornalista televisivo racconta la storia del grande teorema, fino al momento della sua recente soluzione, portando per la prima volta a livello divulgativo le idee della matematica contemporanea.
Raymond Smullyan
Donna o tigre? ... e altri indovinelli logici, Zanichelli, 1985
Qual è il titolo di questo libro?, Zanichelli, 1981.
Fare il verso al pappagallo e altri rompicapi logici, Bompiani, 1990
Satana, Cantor e l’infinito e altri inquietanti rompicapi, Bompiani, 1994
L’erede di Lewis Carroll, docente di Logica Matematica e Filosofia alla City University di New York, presenta una brillante collezione di problemi e paradossi che ci portano ad esplorare - come dice Martin Gardner - “quella strana regione sotterranea, al di sotto della matematica, dove corridoi godeliani portano in tutte le direzioni a magnifici teoremi su verità e dimostrabilità”. E il gioco di libro in libro si allarga introducendo nuovi personaggi come lo stregone, il quale usa la logica “così abilmente da dare l’impressione, agli sprovveduti, che si tratti di magia”.
Hugo Steinhaus, Matematica per istantanee, Zanichelli, 1994.
Grande matematico e divulgatore, Steinhaus ha scritto un libro ricco di spunti per indagini e ricerche divertenti, sempre accompagnate da un preciso discorso matematico. Sono giochi e problemi dai quali partire e proseguire per conto proprio, oltre la proposta dell’autore.
Hugo Steinhaus, Cento problemi di matematica elementare, Boringhieri, 1983
Un classico della divulgazione. Una serie di problemi che possono far riscoprire il piacere di fare matematica, sottolineando l’importanza dell’intuizione rispetto al formalismo, del ragionamento rispetto alla formula imparata a memoria.
Ian Stewart - Dio gioca a dadi? - Bollati Boringhieri, 1993
“Stiamo assistendo alla nascita di tutto un nuovo mondo - dice Stewart, matematico e ottimo divulgatore - di un nuovo tipo di matematica, di un progresso fondamentale nella comprensione delle irregolarità che si osservano in natura”. Ed è in questo mondo che ci introduce il suo libro.
Malba Tahan - L’uomo che sapeva contare - Salani, 1996
Scritto da un matematico brasiliano, ne sono state vendute più di due milioni di copie. Trabocchetti logici e sfide matematiche coinvolgono il lettore in un racconto affascinante che è stato definito le Mille e una Notte dei numeri.
Paolo Toni, Scintille matematiche, giochi e gare di creatività e logica, Muzzio, 1993
Un centinaio di problemi nati con un progetto di gara matematica per gli studenti del biennio delle superiori. Sono problemi stimolanti di logica, calcolo combinatorio, algebra e logica, divertenti come un gioco.
Stanislaw M. Ulam, Avventure di un matematico, Sellerio, 1995
L’autobiografia del matematico polacco che contribuì, con il suo lavoro, alla costruzione della bomba atomica. Con molto scetticismo afferma: “ci si potrebbe chiedere se l’insegnamento della matematica abbia realmente senso”. E confessa di non aver amato molto l’insegnamento, “dovendo però considerare che insegnare matematica - dice - non sempre si fa “completamente desti”, poiché talvolta si è presi da un parziale stato di “trance”.
Roberto Vacca, Anche tu matematico, Garzanti, 1989
Un libro di divulgazione matematica che ha anche avuto un certo successo, definito dallo stesso autore “un armamentario di strumenti con cui risolvere problemi”. Risulta comunque poco più di un sussidiario di un testo scolastico delle superiori.
André Weil, Ricordi di apprendistato, vita di un matematico, Einaudi, 1994.
Weil ricorda il percorso tutt’altro che agevole, che lo ha portato alla sua affermazione come matematico, il suo apprendistato. E ancora una volta abbiamo la conferma: la matematica non si studia sui libri, ma soltanto frequentando altri matematici.
André Weil, Teoria dei numeri, Einaudi, 1993.
Il primo libro da leggere sulla teoria dei numeri: “La caratteristica dell’opera di Weil - scrive Enrico Bombieri nell’introduzione - è il rigore quasi monastico delle idee, unito a un’ampiezza di respiro che troviamo soltanto nei grandissimi matematici. Le dimostrazioni di Weil raramente sono complicate, e sono invece caratterizzate da economia di mezzi, sintesi e lucidità straordinaria di esposizione”.
Margaret Wertheim, I pantaloni di Pitagora, Dio, le donne e la matematica, Instar Libri, 1996.
I rapporti delle donne con la matematica e in generale le scienze attraverso la storia nei rapporti con l’ambiente in cui sono vissute inseriti nell’ambiente relativo
Paolo Zellini, La ribellione del numero, Adelphi, 1985
All’inizio del secolo il numero si ribella alla rigida definizione del passato facendo affiorare i primi paradossi. E Zellini ricostruisce questa storia cercando i dubbi che hanno sempre ossessionato il pensiero dell’uomo: può la mente costruirsi tutto ciò che vuole, purché rispetti le regole che essa stessa si pone?
Internet e la didattica della Matematica
La rivoluzione nell’insegnamento della matematica arriva da Internet. E’ la rete, o meglio lo studente o il collega che usa internet, a portare in classe e all’attenzione dell’insegnante nuove proposte, dibattiti e confronti, esercizi e percorsi stimolanti che hanno un solo difetto: al 90% sono in inglese. Superato lo scoglio della lingua, ci troviamo di fronte a una miriade di pagine entusiasmanti, progetti didattici e proposte di ogni genere, giochi e spazi interattivi per un sicuro coinvolgimento degli studenti. Ad un certo punto però possiamo essere sopraffatti dallo sconforto. Ci rendiamo conto infatti che non riusciremo mai ad esplorare completamente l’infinito mare che si è aperto di fronte a noi. Ci vorrebbero diversi mesi (forse anni) di tempo per esaminare, anche solo superficialmente, tutte le pagine di matematica presenti in rete. Inoltre pur ammettendo di riuscire a portare a termine la nostra ricerca, ci accorgeremmo che le pagine che abbiamo già visto vengono continuamente aggiornate, con modifiche addirittura giornaliere per i siti più importanti.
Che fare, a questo punto? Per la “navigazione” in rete, dobbiamo per forza selezionare l’argomento che intendiamo approfondire e servirci del motore di ricerca più adatto. Se usiamo i consueti Altavista o Yahoo, rischiamo di andare fuori strada. Se proviamo, ad esempio, ad inserire come chiave di ricerca “quadrato”, veniamo sepolti da una valanga di indirizzi matematici mescolati a quelli di centri, istituti ed aziende di ogni tipo che hanno come parola chiave il “quadrato”. In realtà, per la matematica, basterebbe dare un unico indirizzo, quello dello Swarthmore College americano: http://forum.swarthmore.edu/. Alla sua home page si clicca su Search e si arriva così al motore di ricerca più ricco e sicuro della rete, dove sono già stati selezionati per noi i siti matematici più autorevoli e affidabili. Di collegamento in collegamento potremo poi allargare a nostro piacere la ricerca. Lo stesso sito è uno dei più completi per l’aggiornamento dell’insegnante, con utilissimi progetti didattici, esempi di lezioni a tutti i livelli, informazioni su convegni e iniziative matematiche, dibattiti e scambi di opinione fra insegnanti di tutto il mondo. Gli altri indirizzi che riportiamo, sono quelli dei principali siti didattici della rete, punti di partenza per possibili indagini personali, e una serie di pagine di particolare interesse matematico, esemplari per ricerche su temi quali i quadrati magici o i nodi, materiali per il problem solving, cataloghi di giochi e puzzle matematici, aiuti preziosissimi per qualsiasi lavoro della classe.
Il sito “ufficiale” della Didattica in Italia. E’ il Centro Europeo dell’Educazione, utile per un aggiornamento sulle novità nella scuola italiana e per l’elenco dei siti italiani che si occupano di didattica.
L’Educazione in Europa con tutti programmi della comunità europea e i collegamenti ai principali siti didattici europei.
http://www.multimania.com/serge/index.htm
Si chiama Cyberblatte ed è un sito francese dedicato alla matematica per gli studenti dagli 11 ai 18 anni. Problemi, notizie e aggiornamenti dalla Francia.
Il sito governativo degli Stati Uniti per la scuola. Un sito esemplare, enorme, che riporta tutti i riferimenti al grande dibattito sulla riforma scolastica americana.
La scuola in Gran Bretagna. Il sito governativo con le novità e i collegamenti alle pagine web inglesi di didattica.
Il centro didattico britannico ufficiale, collegato con il Ministero.
http://www-cs.open.ac.uk/cme/cme.html
L’Open University in rete.
Il Centro di Didattica della Matematica dell’Università di Nottingham. A questo è collegato il CSME che ha organizzato il Convegno su “Educazione Matematica e Società”: http://www.nottingham.ac.uk/csme. E’ già in programma una seconda edizione del Convegno che si terrà in Portogallo, , dal 26 al 31 marzo 2000. Per le prime informazioni: http://correjo.cc.fc.ul.pt/~jflm/mes2.html
http://www-leibniz.imag.fr/DDM/ddm.html
Il Laboratorio Leibniz di Grenoble, per la Didattica della Matematica.
Il sito della Mathematical Association of America. Le novità sulla ricerca matematica, le recensioni e le rubriche di Ivars Peterson e Keith Devlin.
Il sito del National Council of Teachers of Mathematics, con i progetti dell’Associazione e, da Aprile ‘99, le nuove pagine di problem-solving. Ha pubblicato le bozze di Standards 2000.
E’ il sito matematico più importante della rete, quello più completo, indispensabile per qualsiasi ricerca matematica. Preziosissimi i POW: Problems of the Week.
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html
Il più ricco archivio di storia della matematica della rete. Contiene le biografie di oltre un migliaio di matematici.
http://www.astro.virginia.edu/~eww6n/math/math0.html
Un’ampia Enciclopedia della Matematica, molto utile come opera di consultazione.
Più di mille libri on-line per l’aggiornamento degli insegnanti.
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist.html
Libri e articoli on-line sulla storia della Matematica, e un elenco serio e affidabile delle principali risorse della rete.
I disegni del più celebre pittore-matematico, Escher.
http://www.psych.indiana.edu/cogsci/hofstadter.html
L’home page di Hofstadter, alla Indiana University, per un aggiornamento sui suoi lavori e sulle sue pubblicazioni.
http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html
L’Enciclopedia on-line delle successioni e per tutte riesce a dare la soluzione.
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.knott/Fibonacci/fib.html
La successione di Fibonacci.
http://www.geom.umn.edu/~banchoff/projects.html
La pagina di Banchoff, con i suoi studi sulla quarta dimensione e su Flatlandia.
http://big6.syr.edu/overview/index.html
Modelli per il Problem Solving: i sei passi fondamentali per arrivare alla risoluzione di un problema.
http://neufeldmath.com/probsoli.htm
Un’ampia introduzione al Problem-Solving.
http://206.152.229.6/Problems/strategies.html
Strategie per il Problem Solving
http://www.ruf.rice.edu/~lane/debugging.html
Problem - Solving e psicologia, dalla Rice University.
Dall’Università di Cambridge, una rivista elettronica di didattica e divulgazione matematica ad alto livello, con i “problemi del mese”.
http://www.nrich.maths.org.uk/mathsf/journalf/problems.htm
Altri problemi dall’Università di Cambridge. Sono a diversi livelli, dalle elementari alle superiori.
http://www.olemiss.edu/mathed/pow/index.html
I “problemi della settimana” dell’Università del Mississippi. Calcolatrici in premio ai più bravi.
http://pegasus.cc.ucf.edu/~ucfcasio/high.htm
I “problemi della settimana” della University of Central Florida. Sempre con calcolatrici in premio ai più bravi.
http://www.uidaho.edu/LS/Math/imc/p98-03.html
Le “sfide matematiche” dell’Università dell’Idaho.
http://math.smus.edu/~les/POTW.html
I problemi mensili dell’Università del Missouri.
http://www.srl.rmit.edu.au/index.html
I problemi del Problem Solving Task Centre australiano
http://pages.prodigy.net/dtherrien/
Due nuovi problemi ogni quindici giorni, con un archivio dei problemi precedenti.
http://www.mbnet.mb.ca/~jfinch/math.html
I problemi della settimana dal Canada.
http://www.uidaho.edu/LS/Math/imc/
Le sfide dal Dipartimento di Matematica dell’Università dell’Idaho. In palio una T-shirt per lo studente più bravo.
http://www.mathpro.com/math/mathCenter.html
Un tentativo interessante di catalogare tutti i problemi matematici, con i collegamenti a tutti i siti che se occupano.
http://www.nova.edu/Inter-Links/puzzles.html
Un ricco archivio di puzzle, con le relative soluzioni, catalogati per soggetto.
http://www.cs.uidaho.edu/~casey931/
I giochi e puzzle matematici di Nancy Casey. Molto utili per l’insegnante.
http://minerva.cis.yale.edu/~cgseife/conway.html
I giochi di John Conway.
http://www.gps.caltech.edu/~eww/math/math0.html
Giochi matematici del Caltech.
http://www.nr.infi.net/~drmatrix/math.htm
L’articolo di Martin Gardner, pubblicato nel 1977 da Scientific American, sulle tassellature non-periodiche.
http://www.geocities.com/SiliconValley/Pines/1684/Penrose.html
Un applet di ShuXiang Zeng, per di costruire ogni tipo di tassellatura non-periodica, con tessere virtuali di tutti i colori.
http://www.aie.nl/~geert/java/public/Penrose.html
Applet di Geert-Jan Opdorp per tassellare automaticamente il piano.
http://dept.physics.upenn.edu/~www/astro-cosmo/walker/walker.html
Una saggio divulgativo di Steinhardt sulle tassellature e i quasicristalli.
http://forum.swarthmore.edu/workshops/usi/pascal/pascal_intro.html
Un lavoro completo sul triangolo di Tartaglia, con una serie di lezioni a tutti i livelli e un lungo elenco di collegamenti per approfondire ancora l’argomento.
http://math.rice.edu/~lanius/fractals/pasc.html
Dal triangolo di Tartaglia al triangolo di Sierpinski, ai frattali.
http://www.fgi.net/~jnugent/math/Article2.htm
Il triangolo di Tartaglia nelle tre dimensioni. Dal Triangolo alla Piramide.
http://forum.swarthmore.edu/alejandre/magic.square.html
Le lezioni sui quadrati magici di Suzanne Alejandre. Una proposta dettagliatissima, con lezioni e attività per gli studenti
http://www.pse.che.tohoku.ac.jp/~msuzuki/MagicSquare.html
Quadrati, cubi e poligoni magici. Un ampio studio di Mutzumi Suzuki, con un lungo elenco di collegamenti sull’argomento.
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/4057/
Quadrati, cubi e ipercubi magici, stelle e altre configurazioni magiche. L’autore, Harvey Heinz, cita Proclo (410 - 485 d.C.): Dove c’è il numero, c’è bellezza
http://www.seanet.com/~ksbrown/kmath295.htm
Un’accurata indagine matematica di Kevin Brown sui quadrati magici e sulla loro costruzione.
http://www.c3.lanl.gov/mega-.math/workbk/knot/knactiv.html
Il percorso per l’introduzione dei nodi in classe, proposto dai responsabili di uno dei più autorevoli progetti di matematica in rete.
http://www.bangor.ac.uk/ma/CPM/exhibit/images/menu.htm
Una stupenda “Esposizione matematica” dedicata ai nodi. E’ organizzata dall’Università del Wales. Riporta anche 265 (!) collegamenti a pagine web sui nodi.
In rete esistono molti gruppi di discussione e mailing list alle quali l’insegnante può far riferimento per uno scambio di idee e un ulteriore aggiornamento.
Segnaliamo, fra i news group più attivi:
in italiano it.scienza.mat
in francese fr.sci.maths
in tedesco de.sci.mathematik
in inglese uk.education.maths
Il presente testo raccoglie gli interventi dell’autore ai due incontri Mathesis del 25/2/99 - Il gioco della Matematica e del 6/5/99 - I libri di Matematica.